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Erwartungswert berechnen roulette

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Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt.

Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet. Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X: Diese Aussage ist auch als Formel von Wald bekannt.

Dies ist der Satz von der monotonen Konvergenz in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung. Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als. Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

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Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll. Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren , damit der Erwartungswert existiert. Wird der Erwartungswert als Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsvariable aufgefasst, so handelt es sich um einen Lageparameter. Dieser gibt an, wo sich der Hauptteil der Verteilung befindet. Einige der bekannten Momente sind:.

Damit lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten verallgemeinern und auch die bedingte Varianz definieren. Der bedingte Erwartungswert spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse.

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